Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx．
（1）若a=2b，试问函数f（x）能否在x=-1处取到极值？若有可能，求出实数a，b的值；否则说明理由．
（2）若函数f（x）在区间（-1，2），（2，3）内各有一个极值点，试求w=a-4b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导数f′（x），把a=2b代入f′（x），由x=-1为极值点得f′（-1）=0，解出b，a，再代入检验即可；
（2）f（x）在区间（-1，2），（2，3）内各有一个极值点，即f′（x）=0分别在（-1，2）、（2，3）内各有一根，从而可得关于a、b的不等式组，然后利用线性规划知识可得w的最大值、最小值，从而得到w的取值范围；

解答：解：（1）由题意f′（x）=3x²+2ax+b，
因为a=2b，所以f′（x）=3x²+4bx+b，
若f（x）在x=-1处取极值，则f′（-1）=3-4b+b=0，即b=1，
此时f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜-

1

3

时，f′（x）＜0，
所以x=-1时f（x）取得极大值，此时a=2，b=1．
（2）∵函数f（x）=x³+ax²+bx在区间（-1，2），（2，3）内分别有一个极值点，
∴f′（x）=3x²+2ax+b=0在（-1，2），（2，3）内分别有一个实根，
∴

f′(-1)＞0 f′(2)＜0 f′(3)＞0

⇒

3-2a+b＞0 12+4a+b＜0 27+6a+b＞0

，
作出可行域如下图阴影三角形所示（不含边界）：

当直线w=a-4b经过点M、N时w分别取得最大值、最小值，
由

3-2a+b=0 6a+b+27=0

得M（-3，-9），由

4a+b+12=0 6a+b+27=0

得N（-

15

2

，18），
所以w的最大值为：-3-4×（-9）=33；最小值为：-

15

2

-4×18=-

159

2

．
所以w=a-4b的取值范围为（-

159

2

，33）．

点评：本题考查函数取得极值的条件、线性规划、方程根的分布等知识，属中档题．