Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

（1）如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，
∴BC²=BD?BE，
∵tan∠CED=

1

2

，∴

CD

EC

=

1

2

．
∵△BCD∽△BEC，∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

，
设BD=x，BC=2x．又BC²=BD?BE，∴（2x）²=x?（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．