Question

【题目】定义向量 =（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为 =（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+ ）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量 的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=3sin（x+ ）+4sinx=4sinx+3cosx，

其‘相伴向量’ =（4，3），g（x）∈S

（2）解：h（x）=cos（x+α）+2cosx

=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx

=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx

∴函数h（x）的‘相伴向量’ =（﹣sinα，cosα+2）．

则| |= =

（3）解： 的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx= sin（x+φ），

其中cosφ= ，sinφ= ．

当x+φ=2kπ+ ，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+ ﹣φ，k∈Z．

∴tanx0=tan（2kπ+ ﹣φ）=cotφ= ，

tan2x0= = = ．

为直线OM的斜率，由几何意义知： ∈[﹣ ，0）∪（0， ]．

令m= ，则tan2x0= ，m∈[﹣ ，0）∪（0， }．

当﹣ ≤m＜0时，函数tan2x0= 单调递减，∴0＜tan2x0≤ ；

当0＜m≤ 时，函数tan2x0= 单调递减，∴﹣ ≤tan2x0＜0．

综上所述，tan2x0∈[﹣ ，0）∪（0， ]．

【解析】（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出 的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．