Question

（2013•郑州一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a-c．
（I）求B；
（II）若b=2，△ABC的面积为

3

，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）由条件利用正弦定理得2sinBcosC=2sinA-sinC，化简得sinC（2cosB-1）=0，由此求得cosB=

1

2

，可得B的值．
（2）S△ABC=

1

2

acsinB=

3

，求得ac=4，再由余弦定理求得a+c=4．又ac=4，可得a=c=2，从而得出结论．

解答：解：（1）由正弦定理得2sinBcosC=2sinA-sinC，----（2分）
在△ABC中sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，∴sinC（2cosB-1）=0．
又∵0＜C＜π，sinC＞0，∴cosB=

1

2

，注意到0＜B＜π，∴B=

π

3

．-----（6分）
（2）∵S△ABC=

1

2

acsinB=

3

，∴ac=4，----（8分）
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∴（a+c）²=b²+3ac=16，∴a+c=4，----（10分）
又ac=4，所以a=c=2，
故△ABC是等边三角形．----（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．