Question

（2013•永州一模）某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n-1年销售收入a_n与a_n-1万元满足关系式：a_n=a_n-1+

500

2n

-100．
（1）设今年为第一年，求第n年的销售收入a_n；
（2）依上述预测，该企业前几年的销售收入总和S_n最大．

Answer 1

分析：（1）在数列递推式中分别取n=n，n=n-1，…，n=2，写出a1=250=

500

2

，累加后即可得到第n年的销售收入a_n；
（2）企业前n年的销售收入总和S_n的最大值即为年销售收入大于零的所有年销售收入的和，由a_n≥0得到

1

2n

+

n-1

5

≤1．求出满足b_n=

1

2n

+

n-1

5

≤1的n的值即可得到答案．

解答：解：（1）题意可知an-an-1=

500

2n

-100．
an-1-an-2=

500

2n-1

-100．
…
a3-a2=

500

23

-100．
a2-a1=

500

22

-100．
a1=250=

500

2

．
以上各式相加得：
an=500(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)-100(n-1)
=500•

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-100n+100
=500-

500

2n

-100(n-1) 
（2）要求销售收入总和S_n的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和．
∵a_n=500-

500

2n

-100(n-1)．
要使a_n≥0，
即使500-

500

2n

-100(n-1)≥0，
也就是使

1

2n

+

n-1

5

≤1．
令b_n=

1

2n

+

n-1

5

，
则有b_n-b_n-1=

1

2n

+

n-1

5

-

1

2n-1

-

n-2

5

=

1

5

-

1

2n

．
显然，当n≥3时，b_n＞b_n-1，
而b₅＜1，b₆＞1
∴a₅＞0，a₆＜0
∴该企业前5年的销售收入总和最大．

点评：本题考查了数列递推式，考查了类加法求数列的通项公式，训练了数学转化思想方法，考查了数列的函数特性，是中档题．