Question

15．设f（x）=e^x-a（x+1）．（e是自然对数的底数）
（Ⅰ）若f（x）≥0对一切x≥-1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：（$\frac{2015}{2016}$）¹⁰⁰⁸$＜\frac{1}{\sqrt{e}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，x≠-1时，f（x）≥0?a≤$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x＞-1）恒成立，设p（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x＞-1），通过求导得到函数的最小值，从而求出a的范围；
（Ⅱ）a=1时，由（Ⅰ）得e^x≥x+1．令x=-$\frac{1}{2016}$，则${e}^{-\frac{1}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）x=-1时，结论成立；
x≠-1时，f（x）≥0?a≤$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x＞-1）恒成立，
设p（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x＞-1），则p′（x）=$\frac{x{e}^{x}}{（x+1）^{2}}$，
∴p（x）在x∈（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，
∴p（x）≥p（0）=1（x=0时取等号），
∴a≤1；
（Ⅱ）证明：a=1时，由（Ⅰ）得e^x≥x+1．
令x=-$\frac{1}{2016}$，则${e}^{-\frac{1}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$，
∴（$\frac{2015}{2016}$）¹⁰⁰⁸$＜\frac{1}{\sqrt{e}}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．