Question

如图所示，直线x＝2与双曲线F：－y²＝1的渐近线交于E₁、E₂两点．记，任取双曲线F上的点P，若＝ae₁＋be₂(a，b∈R)，求a²＋b²的最小值．

Answer 1

解：由已知得，E₁(2,1)，E₂(2，－1)，

e₁＝(2,1)，e₂＝(2，－1)，

∴＝ae₁＋be₂＝(2a＋2b，a－b)．

∵P在双曲线上，

∴－(a－b)²＝1,2ab－(－2ab)＝1，ab＝.

∴a²＋b²≥2ab＝，

当且仅当a＝b时等号成立．

∴a²＋b²最小值为.