题目内容
如图，已知圆C:(x+1)2+y2=r2(r为常数，且r＞2)，定点B(1，0)，A是圆C上的动点，直线AC与线段AB的垂直平分线l相交于点M．当点A在圆C上移动一周时，点M的轨迹记为曲线F．
(1)求曲线F的方程；
(2)求证：直线l与曲线F只有一个公共点M；
(3)若r=4，点M在第一象限，且
，记直线l与直线CM的夹角为
，
求tan
．
解：(1)连接MB，由题意有
|MC|+|MB|=|MC|+|MA|=|AC|=r
又r＞|BC|=2
∴点M的轨迹是以C(-1,0),B(1,0)为焦点的椭圆
∴a= c=1
∴曲线F的方程为：
(2)反证法：假设直线l与椭圆F还有另一个交点,连接
C、
B、
A
∵点
在l上，有|
C|+|
B|=|
C|+|
A|＞|AC|=r
又点
在F上,有 |
C|+|
B|=r,两者矛盾
故假设不成立，原命题成立.
(3)∵r=4,故椭圆F方程为
设点M（2cosθ,
sinθ）
则
=(2cosθ+1,
sinθ),
=(2cosθ-1,
sinθ),
∴
·
=4cos2θ-1+3sin2θ=
∴cos2θ=
∴M(1,
)
由（2）知l为椭圆F的切线，由
,当y＞0时，有y=
∴
∴kl=
[由公式
求kl不扣分（其中x1=1,y1=
）]
又kMC=
故tanα=
.
练习册系列答案
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