题目内容
如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．（1）求证：EF⊥A′C；
（2）求三棱锥F-A′BC的体积．
分析：（1）欲证EF⊥A'C，可先证EF⊥平面A'EC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF⊥平面A'EC内两相交直线垂直，而EF⊥A'E，EF⊥EC，EC∩A‘E=E，满足定理条件；
（2）先根据题意求出S△FBC，将求三棱锥F-A′BC的体积转化成求三棱锥A′-BCF的体积，再根据三棱锥的体积公式求解即可．
（2）先根据题意求出S△FBC，将求三棱锥F-A′BC的体积转化成求三棱锥A′-BCF的体积，再根据三棱锥的体积公式求解即可．
解答：
解：（1）证明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，∴EF⊥AC（2分）
在四棱锥A'-BCEF中，EF⊥A'E，EF⊥EC，（4分）
又EC∩A‘E=E∴EF⊥平面A'EC，（5分）
又A'C?平面A'EC，∴EF⊥A'C（6分）
（2）在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，
∴S△FBC=
BC•EC=4
又∵A'O垂直平分EC，∴A′O=
=
∴V=
S△FBC•A′O=
×4×
=
解：（1）证明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，∴EF⊥AC（2分）在四棱锥A'-BCEF中，EF⊥A'E，EF⊥EC，（4分）
又EC∩A‘E=E∴EF⊥平面A'EC，（5分）
又A'C?平面A'EC，∴EF⊥A'C（6分）
（2）在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，
∴S△FBC=
| 1 |
| 2 |
又∵A'O垂直平分EC，∴A′O=
| A′E2-EO2 |
| 3 |
∴V=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
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