题目内容
【题目】函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜ 
）的部分图象如图所示． 
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=3[f（x﹣ 
）]2+mf（x﹣ ）+2在区间[0， ]上有四个不同零点，求实数m的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）根据f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A=1， 
= 
﹣ 
= 
，
∴T=π，
∴ω= 
=2；
由“五点法画图”知，
2× +φ= ，解得φ= ；
∴函数f（x）=sin（2x+ ）；
（Ⅱ）∵f（x﹣ 
）=sin（2x﹣ + ）=sin2x，
∴函数F（x）=3[f（x﹣ ）]2+mf（x﹣ ）+2
=3sin2（2x）+msin2x+2；
在区间[0， ]上有四个不同零点，
设t=sin2x，由x∈[0， ]，得2x∈[0，π]，即sin2x∈[0，1]，
∴t∈[0，1]，
令F（x）=0，则3t2+mt+2=0在[0，1]上有两个不等的实数根，
令g（t）=3t2+mt+2
则由 
，解得﹣5＜m＜﹣2 
；
∴实数m的取值范围是﹣5＜m＜﹣2
【解析】（Ⅰ）根据f（x）的部分图象求出A、ω以及φ的值即可；（Ⅱ）求出f（x﹣ 
）=sin2x，化简函数F（x），
根据题意设t=sin2x，则由x∈[0， 
]时t∈[0，1]，
把F（x）=0化为3t2+mt+2=0在[0，1]上有两个不等的实数根，
由此求出实数m的取值范围．
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