Question

6．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AD=1，若棱C₁C上存在唯一的一点P满足A₁P⊥PB，求棱D₁D的长．

Answer 1

分析 先以D为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，其中P点的坐标要设出来，再利用A₁P⊥PB得关于λ的等式，利用△=λ²-4=0，且λ＞0，解得λ即可．

解答 解：如图，以点D为原点O，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，D₁D=λ（λ＞0），
则D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，λ），
设P（0，1，x），其中x∈[0，λ]，
则$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，x），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（-1，1，x-λ），
因为A₁P⊥PB，
所以（-1，1，x-λ）•（-1，0，x）=0，
化简得x²-λx+1=0，x∈[0，λ]，
因为棱C₁C上存在唯一的一点，
所以判别式△=λ²-4=0，且λ＞0，解得λ=2，
所以棱D₁D的长为2

点评 本题考查了利用空间向量和空间直角坐标系解决线线垂直和点的存在性问题的方法．