Question

（2012•江西模拟）设e₁、e₂为焦点在x轴上且具有公共焦点F₁、F₂的标准椭圆和标准双曲线的离心率，O为坐标原点，P是两曲线的一个公共点，且满足2|

op

|=|

F1F2

|，则

e1e2

e 2 1 + e 2 2

的值为（　　）

• A．2
• B．

  2

  2

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果．

解答：解：设椭圆的长半轴是a₁，双曲线的实半轴是a₂，它们的半焦距是c
并设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵2|

OP

|=|

F1F2

|，∴PF₁⊥PF₂，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化简可得a₁²+a₂²=2c²
∴

1

e12

+

1

e22

=2
∴

e1e2

e 2 1 + e 2 2

=

1

1 e12 + 1 e22

=

1

2

=

2

2

故选B．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，属于中档题．