题目内容
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源需从宏观上考察其再生能力及被捕捞强度对鱼群总量的影响，用
表示某鱼群在第n年年初的总量，nÎ
N*，且
，不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与
成正比，死亡量与
成正比，这些比例系数依次为正常数a、b、c．
(1)
求
，与
的关系式．
(2)
猜测：当且仅当
，a，b，c，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)
(3)
设a=2，c=1，为保证对任意
，都有
，nÎ
N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论．
答案：略
解析：
解析：
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解： (1)从第n年初到第n＋1年初，鱼群的繁殖量为 ，被捕捞量为 ，死亡量为 ，因此 ，
即  nÎ
N*．
(2) 若每年年初鱼群总量保持不变，则 恒等于 ，nÎ
N*，从而由(*)式得 恒等于0，nÎ
N*．所以 ，即 ．因为 ，所以a＞b．
猜测：当且仅当 a＞b，且时，每年年初鱼群总量保持不变．
(3) 若b的值使得 ，nÎ
N*，由 ，知 ，nÎ
N*，特别地，有 ，即 ．而 ，
所以 bÎ (0，1)，由此猜测b的最大允许值是1．下证，当  ，b=1时，都有 ，nÎ
N*．
①当 n=1时，结论显然成立．②假设当 n=k时结论成立，即  ，
则当 n=k＋1时，
又因为 
所以  ．故当n=k＋1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意为 nÎ N*都有 ．
综上所述，为保证对任意 ，都有 ，nÎ
N*，则捕捞强度b的最大允许值是1． |
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