Question

如图，△ABC与△BCD是一副三角板，它们所在的两个平面互相垂直，且AB=AC，∠BAC=∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）求证：△ACD和△BAD都是直角三角形；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据BC⊥CD，平面ABC⊥平面BCD，利用面面垂直的性质得DC⊥平面ABC，从而得到线线垂直，再利用线面垂直的判定得AB⊥平面ACD，从而证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BDA为直线BD与平面ACD所成角．设出AB的长度，利用解三角形求解直线BD与平面ACD所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
由已知，△ABC与△BCD是直角三角形，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，且CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，AB?平面ABC，
∴CD⊥AC，CD⊥AB，△ACD是直角三角形．
又AB⊥AC，AC∩CD=C，∴AB⊥平面ACD，AD?ADC，∴AB⊥AD．
∴△ABD也是直角三角形．
∴△ACD和△BAD都是直角三角形；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB⊥平面ACD，∴∠BDA为直线BD与平面ACD所成角．
设AB=a，∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC=

2

a，
在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°，∴BD=

2 6 a

3

，
则sin∠BDA=

a

2 6 a 3

=

6

4

．
∴直线BD与平面ACD所成角的正弦值为

6

4

．

点评：本题考查了直线和平面垂直的判定和性质，考查了线面角的求法，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．