Question

如图，△PAC与△ABC是均以AC为斜边的等腰直角三角形，AC=4，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，G为OC的中点，且PO⊥平面ABC．
（1）证明：FE∥平面BOG；
（2）求二面角EO-B-FG的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面BOE的法向量

n

•

FG

=0即可证明；
（2）利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．

解答：（1）证明：以O点为坐标原点，

OB

，

OC

，

OP

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系数，
则O（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，-2，0），P（0，0，2），G（0，1，0），E（0，-1，1），F（1，0，1）．
∴

OE

=(0，-1，1)，

OB

=(2，0，0)，

FG

=(-1，1，-1)．
设平面OBE的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • OE =-y+z=0 n • OB =2x=0

，令y=1，解得

n

=(0，1，1)，
∴

FG

•

n

=0+1-1=0，∴

FG

⊥

n

，
∵G∉平面BOE，∴FG∥平面BOE；
（2）由 （1）的证法二可知．平面OBE的法向量为

n

=(0，1，1)．
设平面BGF的法向量为

m

=(a，b，c)，又

GB

=(2，-1，0)，
则

GB • m =2a-b=0 FG • n =-a+b-c=0

，令c=1，则

m

=(1，2，1)，
设二面角EO-B-FG的平面角为θ，则|cosθ|=

| n • m |

| n | | m |

=

3

2 × 6

=

3

2

由由图易知二面角EO-B-FG的平面角为锐角，
∴二面角EO-B-FG的余弦值为

3

2

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用平面BOE的法向量

n

•

FG

=0、两个平面的法向量的夹角公式求二面角的平面角等是解题的关键．