Question

【题目】，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

（1）当直线与成角时，与成角；

（2）当直线与成角时，与成角；

（3）直线与所成角的最小值为；

（4）直线与所成角的最小值为；

其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.

Answer 1

【答案】（1）（3）

【解析】

由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|＝1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，

不妨设图中所示正方体边长为1，

故|AC|＝1，|AB|，

斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，

直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），

其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），

∴AB′在运动过程中的向量为（cosθ，sinθ，﹣1），||，

设与所成夹角为α∈[0，]，

则cosα|sinθ|∈[0，]，

∴α∈[，]，∴（3）正确，（4）错误．

设与所成夹角为β∈[0，]，

cosβ|cosθ|，

当与夹角为60°时，即α，

|sinθ|，

∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，

∵β∈[0，]，∴β，此时与的夹角为60°，

∴（1）正确，（2）错误．

故答案为：（1）（3）．