Question

已知集合A=a₁，a₂，…，a_n中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，有．
（Ⅰ）求证：；    
（Ⅱ）求证：n≤9；
（Ⅲ）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意有，又a₁＜a₂＜＜a_n，因此．由此能够证明．
（Ⅱ）由，a₁≥1，可得，因此n＜26．同理，可知．由此能够推导出n≤9．
（Ⅲ）对于任意1≤i＜j≤n，a_i＜a_i+1≤a_j，由，可知．只需对1≤i＜n，成立即可，由此能够导出满足条件的一个集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．
解答：解：（Ⅰ）证明：依题意有，又a₁＜a₂＜＜a_n，
因此．
可得．
所以．
即．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得．
又a₁≥1，可得，因此n＜26．
同理，可知．
又a_i≥i，可得，
所以i（n-i）＜25（i=1，2，，n-1）均成立．
当n≥10时，取i=5，则i（n-i）=5（n-5）≥25，
可知n＜10．
又当n≤9时，．
所以n≤9．
（Ⅲ）解：对于任意1≤i＜j≤n，a_i＜a_i+1≤a_j，
由可知，，即．
因此，只需对1≤i＜n，成立即可．
因为；；；，
因此可设a₁=1；a₂=2；a₃=3；a₄=4；a₅=5．
由，可得，取a₆=7．
由，可得，取a₇=10．
由，可得，取a₈=20．
由，可得a₉≥100，取a₉=100．
所以满足条件的一个集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．
点评：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化．