[题目]已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1.0).椭圆C1过点.抛物线的顶点为原点．(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程,(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点.过点P作抛物线C2的两条切线PA.PB.其中A.B为切点．设直线PA.PB的斜率分别为k1.k2.求证:k1k2为定值,②若直线AB交椭圆C1于C.D两点.S△PAB.S△PCD分别是△PAB.△PCD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．

(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；

(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．

设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；

②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

【答案】(1) 抛物线的标准方程为,椭圆的方程为:,(2)①证明见解析,②有,最小值为

【解析】

(1)利用可得抛物线的标准方程,根据和点在椭圆上列方程组可求得和,从而可得标准方程;

(2)①利用△=0以及韦达定理可得结论;

②先求出直线过定点,将问题转化为,即求得最小值,当直线的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出和,然后求比值,此时大于,当直线的斜率不存在时,直接求出和可得比值为.从而可得结论.

(1)因为抛物线C2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以,所以,

所以抛物线的标准方程为,

设椭圆方程为,则且,解得,

所以椭圆的方程为:.

(2)①证明:设,过点与抛物线相切的直线为,

由,消去得,

由△=,得,

则.

②设

由①得,则,

所以直线的方程为,所以,

即,即直线恒过定点,

设点到直线的距离为,

所以,

当直线的斜率存在时,设直线的方程为,

设,

由,消去得,

时,△恒成立,

由消去得,△恒成立,

则

所以,

当直线的斜率不存在时,直线的方程为,

此时,,,

所以的最小值为.

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