Question

已知函数f（x）=x³-ax²-a²x．
（Ⅰ）若x=1时函数f（x）有极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有三个不同的解，分别记为x₁，x₂，x₃，证明：f（x）的导函数f′（x）的最小值为f′(

x1+x2+x3

3

)．

Answer 1

分析：（I）求出导函数，令极值点处的导数值为0，列出分成求出a的值，代入验证极值点左右两边的导数符号是否相反．
（II）令导函数等于0求出根，通过讨论a的范围确定出两个根的大小，令导函数大于0，求出单调递增区间．
（III）利用二次方程的韦达定理得到

x1+x2+x3

3

的值，利用（II）得到函数的极小值，得证．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax-a²
∵当x=1时，f（x）有极值，
∴f'（1）=0
即3-2a-a²=0
∴a=1或a=-3
经检验a=1或a=-3符合题意
（Ⅱ）令f'（x）=0即3x²-2ax-a²=0
解得x=a或x=-

a

3

（1）当a＞0时，-

a

3

＜a
∴x＜-

a

3

或x＞a时，f′(x)＞0，f(x)为增函数
∴f（x）的单调增区间为(-∞，-

a

3

)和(a，+∞)
（2）当a=0时，-

a

3

=a=0
∴f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）
（3）当a＜0时，-

a

3

＞a
∴x＞-

a

3

或x＜a时，f′(x)＞0，f(x)为增函数
∴f（x）的单调增区间为(-∞，a)和(-

a

3

，+∞)
（Ⅲ）∵f（x）=x（x²-ax-a²）
∴x=0是f（x）的一个零点，设x₁x₂是方程x²-ax-a²=0的两根，
∴x₁+x₂=a

x1+x2+x3

3

=

a

3

又知当x=

a

3

时f′(x)=3x2-2ax-a2取得最小值f′(

a

3

)
即函数y=f'（x）的最小值为f′(

x1+x2+x3

3

)

点评：利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数为0是函数有极值的必要不充分条件；利用导数判断函数的单调区间，导函数大于0求出单调递增区间；导函数小于0求出单调递减区间．