题目内容
已知抛物线C1的方程为y=x2，抛物线C2的方程为y=2-x2，C1和C2交于A，B两点，D是曲线段AOB段上异于A，B的任意一点，直线AD交C2于点E，G为△BDE的重心，过G作C1的两条切线，切点分别为M，N，求线段MN的长度的取值范围．
设A（-1，1），B（1，1），D（x0，x02），（-1＜x0＜1），…（2分）
直线AD：y=（x0-1）x+x0，代入y=2-x2，
E（2-x0，-x02+4x0-2），D（1，
），
设切点N（x1，x12），M（x2，x22），
2x1=
，3x12-6x1+4x0-1=0，
同理，3x22-6x2+4x0-1=0，
则x1，x2是方程3x2-6x+4x0-1=0的两根，…（6分）
∴|NM|=
=
，（-1＜x0＜1）…（10分）
则|MN|∈（0，
）．…（12分）
直线AD：y=（x0-1）x+x0，代入y=2-x2，
E（2-x0，-x02+4x0-2），D（1，
| 4x0-1 |
| 3 |
设切点N（x1，x12），M（x2，x22），
2x1=
| ||
| 1-x1 |
同理，3x22-6x2+4x0-1=0，
则x1，x2是方程3x2-6x+4x0-1=0的两根，…（6分）
∴|NM|=
| (x12-x12)2+(x1-x2)2 |
4
| ||
| 3 |
| 1-x0 |
则|MN|∈（0，
4
| ||
| 3 |
练习册系列答案
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已知抛物线C1的方程为y=ax2（a＞0），圆C2的方程为x2+（y+1）2=5，直线l1：y=2x+m（m＜0）是C1、C2的公切线．F是C1的焦点．
，证明：点M在一定直线上．
，证明：点M在一定直线上．
，证明：点M在一定直线上．