Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝.

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 设点P为准线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

Answer 1

解：(1) 由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则解得a＝2，c＝2.从而b²＝a²－c²＝4.所以所求椭圆C的标准方程为＝1.

(2) (解法1)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.

线段OF的垂直平分线方程为x＝1.①

因为线段FP的中点为，斜率为，

所以FP的垂直平分线方程为y－＝－(x－3)，即y＝－x＋＋.②

联立①②，解得.

因为t>0，所以＝2，当且仅当＝，即t＝2时，圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M(1，2)，半径为OM＝3.故所求圆M的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝9.

(解法2)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＝0.将点F、P的坐标代入得解得

所以圆心M的坐标为，即(1，＋)．因为t>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，圆心M到x轴的距离最小，此时E＝－4.故所求圆M的方程为x²＋y²－2x－4y＝0.