Question

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵直线l与直线m垂直，且，
∴k_l=3，又k_AC=3，
所以当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C；
（Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意，
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
因为，所以，
则由，得，
∴直线l：4x-3y+4=0．
从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0；
（Ⅲ）因为CM⊥MN，
∴，
当直线l与x轴垂直时，易得，
则，又，
∴，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由，得N（，），
则，
∴=，
综上，与直线l的斜率无关，且．
分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得到直线l过圆心；
（Ⅱ）分两种情况：①当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；
（Ⅲ）根据CM⊥MN，得到•等于0，利用平面向量的加法法则化简等于•，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到与直线l的倾斜角无关．
点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．