Question

设双曲线C：的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点。

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；

（2）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；

（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（1）中的点）的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）点T的坐标为（2，0） 

（2） 

（3）

【解析】

试题分析：（1）设出P、Q的坐标，求得向量的坐标，利用 ，P（x₀，y₀）在双曲线上，即可求得结论；

（2）利用三点共线建立方程，利用P（x₀，y₀）在双曲线上，即可求得轨迹方程；

（3）用坐标表示，利用韦达定理，求得模长，从而可得函数关系式，进而可求其范围．

解：（1）由题，得，设

则

由  ……①

又在双曲线上，则   ……②

联立①、②，解得    由题意，

∴点T的坐标为（2，0） 

（2）设直线A₁P与直线A₂Q的交点M的坐标为（x，y）

由A₁、P、M三点共线，得

   ……③ 

由A₂、Q、M三点共线，得

   ……④  联立③、④，解得    

∵在双曲线上，∴∴轨迹E的方程为 

（3）容易验证直线l的斜率不为0。

故可设直线l的方程为中，得  

设

则由根与系数的关系，得  ……⑤  ……⑥

∵ ∴有

将⑤式平方除以⑥式，得 

由

 

∵

又

故

考点：本试题主要考查了轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

点评：解决该试题的关键是借助于向量关系式来表示得到坐标，同时能利用三点共线，进而得到坐标关系，解得轨迹方程。易错点就是设而不求的思想，在运算中的准确表示。