Question

(本小题满分16分)已知函数的图象在上连续不断，定义：

，

其中，表示函数在区间上的最小值，表示函数在区间上的最大值.若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为区间上的“阶收缩函数”.

(1)若，试写出的表达式；

(2)已知函数试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出相应的；如果不是，请说明理由；

(3)已知函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）∵，，

∴，

当时，∴

当时，∴∴

当时，∴∴

综上，存在使得是上的4阶收缩函数.

(3)∵,

∴递增，递减.

①  当时，在上递增，

∴

∵是上的2阶收缩函数，

∴对恒成立，即对恒成立，即或.∴

存在，使得成立.存在，使得

成立.即或，∴只需

∴综上：

②当时，在上递增，在上递减，

∴

∴当时，不成立.

③当时, 在上递增，在上递减,

∴

∴当时，也不成立.

综上：

【解析】略