Question

已知函数f(x)＝ln(2ax＋1)＋－x²－2ax(a∈R)．

(1)若x＝2为f(x)的极值点，求实数a的值；

(2)若y＝f(x)在[3，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；

(3)当a＝－时，方程f(1－x)＝有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)．1分 　　因为为的极值点，所以；2分 　　即，解得；3分 　　又当时，，从而的极值点成立．4分 　　(2)因为在区间上为增函数， 　　所以在区间上恒成立．5分 　　①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意．6分 　　②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以上恒成立；7分 　　令，其对称轴为，8分 　　因为所以，从而上恒成立，只要即可，因为，解得．9分 　　因为，所以． 　　综上所述，的取值范围为．10分 　　(3)若时，方程可化为，． 　　问题转化为在上有解， 　　即求函数的值域．11分 　　以下给出两种求函数值域的方法： 　　方法1：因为，令， 　　则，12分 　　所以当，从而上为增函数， 　　当，从而上为减函数，13分 　　因此． 　　而，故， 　　因此当时，取得最大值0；14分 　　方法2：因为，所以． 　　设，则． 　　当时，，所以在上单调递增； 　　当时，，所以在上单调递减； 　　因为，故必有，又， 　　因此必存在实数使得， 　　，所以上单调递减； 　　当，所以上单调递增； 　　当上单调递减； 　　又因为， 　　当，则，又． 　　因此当时，取得最大值0．(14分)