题目内容
已知函数f(x)=loga
(a＞1且b＞0).(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)判断f(x)的单调性，并用定义证明.
思路分析：(1)转化为解不等式；(2)利用定义法判断函数的奇偶性；(3)注意定义证明函数单调性的步骤.
解：(1)由解得x＜-b或x＞b.
∴函数f(x)的定义域为(-∞，-b)∪(b，+∞).
(2)定义域为(-∞，-b)∪(b，+∞).
∵f(-x)=loga(
)=loga(
)=loga(
)-1=-loga(
)=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
(3)设x1、x2是区间(b，+∞)上任意两个值，且x1＜x2，
则
.
∵b＞0， x2-x1＞0，x2-b＞0，x1-b＞0，
∴
.
又a＞1时，函数y=logax是增函数，
∴loga
＞loga
，即f(x1)＞f(x2).
∴函数f(x)在区间(b，+∞)上是减函数.
同理，可证f(x)在(-∞，-b)上也是减函数.
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