Question

已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）在如图坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象，写出f（x）的单调区间；
（3）当x∈[0，a]（a＞0）时，求f（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=x|x-2|=，图象如图所示；
（2）由图象可得，f（x）的单调增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（3）当0＜a＜1 时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（a）=a（2-a）；
当1＜a≤2 时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
综上，当0＜a＜1 时，此时f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）；1＜a≤2 时，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1．
分析：（1）利用绝对值的几何意义，化简函数解析式，可得函数的图象；
（2）根据图象，可写单调区间
（3）分类讨论，分当0＜a＜1 时，当1＜a≤2 时两种情况，利用函数的单调性，求函数在闭区间上的最值．
点评：本题考查分类讨论的数学思想，和利用单调性求函数最值的方法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．