题目内容
设等差数列
的公差为
，且
．若设
是从
开始的前
项数列的和，即
，
，如此下去，其中数列
是从第
开始到第
)项为止的数列的和，即
．
(1)若数列
,试找出一组满足条件的
,使得： 
；
(2)试证明对于数列
，一定可通过适当的划分，使所得的数列
中的各数都为平方数；
(3)若等差数列中
．试探索该数列中是否存在无穷整数数列
,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．
的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即．(1)若数列
,试找出一组满足条件的,使得： ；(2)试证明对于数列
，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；(3)若等差数列
中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．(1)
;(2)证明见解析；（3）不存在，证明见解析．
;(2)证明见解析；（3）不存在，证明见解析．试题分析：（1）仔细阅读题目，其实会发现第2小题已经给我们指明了方向，从第一个数开始适当划分，使每段的和为平方数，同时想办法满足
，这样既完成了第1小题，又可完成第2小题，从最简单入手，
，
，因此思考是否可能有
呢？
，这样第1小题完成；（2）这类问题实质就是要我们作出一个符合条件的划分，由（1）的分析，可知只要
，则所得划分就是符合题意的，事实上，
，
，
是完全平方数；（3）这类问题总是假设存在，然后推导，能求出就说明存在，不能求出或推导出矛盾的结论就说明不存在，可以计算出
，数列
必定是公比
大于1的整数的等比数列，但事实上，
，从而要求
是完全平方数，这是不可能的，故假设错误，本题结论是不存在．试题解析：（1）则
;（4分）(2)记
即,又由
，
,所以第二段可取3个数，
；再由
，即
,因此第三段可取9个数，即
，依次下去, 一般地:
,
（6分）所以
，（8分）
（9分）则
．由此得证．（11分）
（3）不存在．令
,则 假设存在符合题意的等比数列, 则
的公比必为大于
的整数,(
,因此
，即
此时,注意到,
（14分）要使
成立,则必为完全平方数,（16分）但
,矛盾．因此不存在符合题意的等差数列．（18分）
练习册系列答案
相关题目
是等差数列，且
.
，求数列
的前
项和．
的有穷数列数集
，记
，即
为
、
、
、
中的最大值，并称数列
是
的控制数列.如
、
、
、
、
、
（
为常数，
、
个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
中，已知
，则该数列前11项和
( )
中，
，则数列
(n≥2)，b1＝
，求数列{bn}的前n项和Sn.