Question

2．已知函数f（x）=x（1+lnx）
（1）若不等式f（x）≤kx²对x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围；
（2）当0＜a＜b＜1时，证明：$\frac{\root{b}{a}}{a}$$＞\frac{\root{a}{b}}{b}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得k≥$\frac{1+lnx}{x}$的最大值，求出g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$的导数，求得单调区间和极值、最值，即可得到k的范围；
（2）运用分析法证明，证得$\frac{alna}{1-a}$＞$\frac{blnb}{1-b}$．设函数h（x）=$\frac{xlnx}{1-x}$（0＜x＜1），求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）不等式f（x）≤kx²对x∈（0，+∞）恒成立，
即为k≥$\frac{1+lnx}{x}$的最大值，
由g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$的导数为$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，
即有x=1处取得最大值，且为1，
则k≥1；
（2）要证$\frac{\root{b}{a}}{a}$$＞\frac{\root{a}{b}}{b}$，即为${a}^{\frac{1}{b}-1}$＞${b}^{\frac{1}{a}-1}$，
即为ln${a}^{\frac{1}{b}-1}$＞ln${b}^{\frac{1}{a}-1}$，
即有（$\frac{1}{b}$-1）lna＞（$\frac{1}{a}$-1）lnb，
即为$\frac{alna}{1-a}$＞$\frac{blnb}{1-b}$．
设函数h（x）=$\frac{xlnx}{1-x}$（0＜x＜1），
导数h′（x）=$\frac{1-x+lnx}{（1-x）^{2}}$，
由1-x+lnx的导数为-1+$\frac{1}{x}$＞0，即有1-x+lnx＜0，
则有h′（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减，
由0＜a＜b＜1，可得$\frac{alna}{1-a}$＞$\frac{blnb}{1-b}$．
故不等式$\frac{\root{b}{a}}{a}$$＞\frac{\root{a}{b}}{b}$成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离，同时考查不等式的证明，注意运用分析法和构造函数，运用单调性解决，属于中档题．