Question

（本题满分14分）
已知数列满足，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求满足不等式的所有正整数的值.

Answer 1

（1）证明：由得，计算中，得，
即得。（2）满足不等式的所有正整数的值为2，3，4。

试题分析：（1）证明：由得，则。
代入中，得，
即得。所以数列是等差数列。………………6分
（2）解：因为数列是首项为，公差为等差数列，
则，则。………………8分
从而有，
故。…………11分
则，由，得。
即，得。
故满足不等式的所有正整数的值为2，3，4。………………14分
点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。“公式法”求数列的前n项和是高考常常考到数列求和方法。不等式的证明应用了“放缩法”。