Question

2．已知f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2015π），求则函数f（x）的各极小值之和为-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2014π}）}{1-{e}^{2π}}$．

Answer 1

分析 先求f′（x）=2e^xsinx，这样即可得到f（2π），f（4π），f（6π），…，f（2014π）为f（x）的极小值，并且构成以-e^2π为首项，e^2π为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f（x）的各极小值之和即可．

解答 解：f′（x）=2e^xsinx；
x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，其中0≤k≤1007，且k∈N^*；
∴f（2kπ）=-e^2kπ是f（x）的极小值；
∴函数f（x）的各极小值之和为-（e^2π+e^4π+e^6π+…+e^2012π+e^2014π）=-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2014π}）}{1-{e}^{2π}}$，
故答案为：-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2014π}）}{1-{e}^{2π}}$．

点评 考查极大值的定义，正弦、余弦，和积的导数的求导公式，以及等比数列的概念，等比数列的求和公式，属于中档题．