Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF₁•PF₂的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意，求出a，b，c的值，然后设P的坐标，根据PF₁•PF₂的表达式，按照一元二次函数求最值方法求解．
（Ⅱ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意易知
所以，
设P（x，y），
则=
因为x∈[-2，2]，
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
有最小值-2
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
有最大值1

（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，
可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立，消去y，整理得：
∴
由得：或，
又
∴
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
==
∵，
即k²＜4∴-2＜k＜2
故由①、②得：
或．
点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．