Question

13．在△ABC中，若（b-bcosB）sinA=a（sinB-sinCcosC），则这个三角形是（　　）

• A． 等腰直角三角形
• B． 底角不等于45°的等腰三角形
• C． 等腰三角形或直角三角形
• D． 锐角不等于45°的直角三角形

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式可得：bcosB=ccosC，利用余弦定理化简可得b•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=c•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理解得：b=c或a²=b²+c²，即可得解．

解答 解：∵（b-bcosB）sinA=a（sinB-sinCcosC），
⇒（b-bcosB）a=a（b-ccosC），
⇒b-bcosB=b-ccosC，
⇒bcosB=ccosC，
∵由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴b•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=c•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：a²（b²-c²）=（b²+c²）（b²-c²），
∴解得：b=c或a²=b²+c²，即这个三角形是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理的综合应用，考查了分类讨论思想，属于基本知识的考查．