Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为AA₁的中点．求证：
（1）A₁C∥平面FBD；
（2）平面FBD⊥平面DC₁B．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；
（2）如图所示，连接OC₁．C₁F．利用勾股定理可得FO⊥OC₁．由正方体可得BD⊥平面ACC₁A₁，可得BD⊥FO．再利用线面、面面垂直的判定定理即可证明．

解答：证明：（1）连接AC，设AC∩BD=O．
∵F为AA₁的中点，O为AC的中点，
∴FO∥AC．
∵FO?平面BFO，A₁C?平面BFO．
∴A₁C∥平面BFO．
（2）如图所示，连接OC₁．C₁F．
不妨设AB=2，利用勾股定理可得
FO²=OA2+AF2=(

2

)2+1=3，OC12=OC2+CC12=(

2

)2+2²=6，FC12=FA12+A1

C

2 1

=12+(2

2

)2=9，
∴FO2+O

C

2 1

=A1

C

2 1

，∴FO⊥OC₁．
由正方体可得BD⊥平面ACC₁A₁，∴BD⊥FO．
∵OC₁∩BD=O，∴FO⊥平面BC₁D，
∵FO?平面BDF，∴平面FBD⊥平面DC₁B．

点评：熟练掌握正方形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、勾股定理可、正方体的性质、线面与面面垂直的判定定理是解题的关键．