Question

2．已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3}{4}$π，sin（α-β）=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，则sin2α=-$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 由α与β的范围确定出α+β与α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α-β）与sin（α+β）的值，原式中的角度变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3}{4}$π，sin（α-β）=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，π＜α+β＜$\frac{3}{2}$π，
∴cos（α-β）=$\frac{5}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
则sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）=$\frac{12}{13}$×（-$\frac{3}{5}$）+$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{56}{65}$，
故答案为：-$\frac{56}{65}$

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．