Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx-1
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在（2，4）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导，令导数等于0，得出其极值点，列出其表格，进而得出其单调区间；
（2）函数f（x）在（2，4）上是减函数?f^′（x）在区间（2，4）恒成立，通过分离参数，再利用导数求出其最值即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²+ax-lnx-1，其定义域为（0，+∞）．
∴f′(x)=-2x+a-

1

x

，当a=3时，f′(x)=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

；
令f^′（x）=0，解得x=

1

2

或1．
如下表：
由表格可知：在区间（0，

1

2

），（1，+∞）上f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
在区间（

1

2

，1）上f′（x）＞0．函数f（x）为增函数．
（2）∵函数f（x）在（2，4）上是减函数，则f′(x)=-2x+a-

1

x

≤0，在x∈（2，4）上恒成立．
-2x+a-

1

x

≤0?2x+

1

x

≥a在x∈(2，4)上恒成立．
令g（x）=2x+

1

x

，则g′(x)=2-

1

x2

=

2x2-1

x2

≥0，在（2，4）上恒成立，
∴g（x）在（2，4）上单调递增，∴g（x）＞g(2)=2×2+

1

2

=

9

2

．
因此实数a的取值范围a∈(-∞，

9

2

]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性和极值、最值是解题的关键．分离参数法、等价转化法必须掌握．