Question

已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=,记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程;

(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.

Answer 1

解析:(1)由|PM|-|PN|=知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又半焦距c=2,故b=.

所以W的方程为=1(x≥).

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x_i²-y_i²=(x_i+y_i)(x_i-y_i)=2(i=1,2).

令s_i=x_i+y_i,t_i=x_i-y_i,

则s_it_i=2,且s_i＞0,t_i＞0(i=1,2),

所以=x₁x₂+y₁y₂

=(s₁+t₁)(s₂+t₂)+(s₁-t₁)(s₂-t₂)

=s₁s₂+t₁t₂≥=2.

当且仅当s₁s₂=t₁t₂,即时“=”成立,所以的最小值是2.