Question

8．已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量$\overrightarrow{c_n}=（{{a_n}，{a_{n+1}}}），\overrightarrow{b_n}=（{2n+2，-2n}），n∈{N^*}$．下列命题中真命题是（　　）

• A． 若?n∈N^*总有c_n⊥b_n成立，则数列{a_n}是等比数列
• B． 若?n∈N^*总有c_n∥b_n成立成立，则数列{a_n}是等比数列
• C． 若?n∈N^*总有c_n⊥b_n成立，则数列{a_n}是等差数列
• D． 若?n∈N^*总有c_n∥b_n成立，则数列{a_n}是等差数列

Answer 1

分析 根据题意，分析平面向量平行、垂直的坐标表示，判断数列{a_n}是否为等差或等比数列．

解答 解：若c_n∥b_n成立，则-2na_n=（2n+2）a_n+1，即-na_n=（n+1）a_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{n}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=（-$\frac{n-1}{n}$）•（-$\frac{n-2}{n-1}$）•…•（-$\frac{1}{2}$）•a₁=$\frac{1}{n}$（-1）^n-1a₁，
∴数列{a_n}既不是等差数列，也不是等比数列，
∴B，D错误，
若?n∈N^*总有c_n⊥b_n成立，则（2n+2）a_n-2na_n+1=0，na_n=（n+1）a_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•2•a₁=na₁，
∴数列{a_n}是等差数列，
∴A错误，C正确，
故选：C

点评 本题考查了平面向量平行的坐标表示，也考查了等差与等比数列的应用问题，中档题目．