Question

在二项式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中各项的系数和．

Answer 1

分析：（1）根据题意，写出展开式的通项，由“前三项系数的绝对值成等差数列”可得

C

0 n

，(

1

2

)

C

1 n

，(

1

2

)2

C

2 n

成等差数列，列方程可得n的值，在通项中，令

8-2r

3

=0，可得r=4，将其代入通项可得答案；
（2）由二项式各项系数和的求法，令x=1计算(

3	x

-

1

2 3 x

)n的大小，即可得答案．

解答：解：（1）展开式的通项为Tr+1=(-

1

2

)r

C

r n

x

n-2r

3

，r=0，1，2，…，n
由已知，

C

0 n

，(

1

2

)

C

1 n

，(

1

2

)2

C

2 n

成等差数列，
∴2×

1

2

C

1 n

=1+

1

4

C

2 n

，∴n=8．
要求常数项，令

8-2r

3

=0，可得r=4，
所以常数项为T5=

35

8

，
（2）在二项式(

3	x

-

1

2 3 x

)n中，令x=1可得，（1-

1

2

）⁸=

1

256

，
则展开式中各项系数和为

1

256

，

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键在于根据三项系数的绝对值成等差数列，列出方程，求出n的值．