Question

在二项式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和；
（4）求展开式的有理项．

Answer 1

因为第一、二、三项系数的绝对值分别为C_n⁰，

1

2

C

1n

，

1

4

C

2n

∴

C

n0

+

1

4

C

n2

= 2×

1

2

C

n1

∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）第四项 T4=

C

38

(

3	x

)5 (-

1

2 3 x

)3=-7 x

2

3

（2）通项公式为 Tr+1=

C

r8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，
令

8-2r

3

=0，得r=4
所以展开式中的常数项为 T5=

C

48

(-

1

2

)4=

35

8

（3）令二项式中的x=1，则有展开式中各项的系数和为(1-

1

2

)8=(

1

2

)8…（10分）
（4）通项公式为 Tr+1=

C

r8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，考察x的指数知，r=1，4，7时，x的指数为整数，即：
T₂=-4x²，T5=

35

8

，T8=-

1

16x2

此三项为展开式中的有理项…（14分）