Question

12．在△ABC中，a：b：c=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），则A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 由已知不妨设a=2x，b=$\sqrt{6}$x，c=（$\sqrt{3}$+1）x，x∈R，利用余弦定理可求cosA，cosB的值，结合A，B范围即可求得A，B的值，利用三角形内角和定理可求C的值．

解答 解：∵a：b：c=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），
∴不妨设a=2x，b=$\sqrt{6}$x，c=（$\sqrt{3}$+1）x，x∈R，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{6{x}^{2}+（4+2\sqrt{3}）{x}^{2}-4{x}^{2}}{2×\sqrt{6}x×（\sqrt{3}+1）x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴解得：A=$\frac{π}{4}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4{x}^{2}+（4+2\sqrt{3}）{x}^{2}-6{x}^{2}}{2×2x×（\sqrt{3}+1）x}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴解得：B=$\frac{π}{3}$，C=π-A-B=$\frac{5π}{12}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于中档题．