Question

某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p₁,寿命为2年以上的概率为p₂.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.

(1)在第一次灯泡更换工作中,求不需更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率;

(2)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;

(3)当p₁=0.8,p₂=0.3时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).

Answer 1

解:(1)在第一次更换灯泡工作中,不需更换灯泡的概率为p₁⁵,需要更换2只灯泡的概率为C²₅p₁³(1-p₁)².

    (2)对该盏灯来说,在第一、二次都更换了灯泡的概率为(1-p₁)²;在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p₁(1-p₂).故所求的概率为

    p=(1-p₁)²+p₁(1-p₂).

    (3)至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况.换5只的概率为p⁵〔其中p为(2)中所求,下同〕;换4只的概率为C¹₅p⁴(1-p).故至少换4只灯泡的概率为

    p₃=p⁵+C¹₅p⁴(1-p).

    又当p₁=0.8,p₂=0.3时,p=0.2²+0.8×0.7=0.6.

    ∴p₃=0.6⁵+5×0.6⁴×0.4=0.34,

    即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.