题目内容
若函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为-1，有以下命题：
（1）f（x）的解析式为：f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]
（2）f（x）的极值点有且仅有一个
（3）f（x）的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为（ ）
（1）f（x）的解析式为：f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]
（2）f（x）的极值点有且仅有一个
（3）f（x）的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为（ ）
| A．0个 | B．1个 | C．2个 | D．3个 |
函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
（1）可见f（x）=x3-4x，因此（1）正确；
（2）令f′（x）=0，得x=±
．因此（2）不正确；
所以f（x）在[-
，
]内递减，
（3）f（x）的极大值为f（-
）=
，极小值为f（
）=-
，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=
，最小值为m=-
，则M+m=0，因此（3）正确．
故选B．
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
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所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
（1）可见f（x）=x3-4x，因此（1）正确；
（2）令f′（x）=0，得x=±
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所以f（x）在[-
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（3）f（x）的极大值为f（-
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所以f（x）的最大值为M=
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故选B．
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