Question

已知数列{a_n}、{b_n}都是无穷等差数列，其中a₁=3，b₁=2，b₂是a₂与a₃的等差中项，且

lim

n→∞

an

bn

=

1

2

，求极限

lim

n→∞

（

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

）的值．

Answer 1

分析：首先利用等差数列的通项公式和数列极限的计算方法，结合已知条件，可以求出两数列的公差，从而求出a_n，b_n，进而推出a_n、b_n，然后利用裂项相消法可得

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

的表达式，最后求出其极限．

解答：解：{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁、d₂．
∵2b₂=a₂+a₃，即2（2+d₂）=（3+d₁）+（3+2d₁），
∴2d₂-3d₁=2．
又

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

3+(n-1)d1

2+(n-1)d2

=

d1

d2

=

1

2

，即d₂=2d₁，
∴d₁=2，d₂=4．
∴a_n=a₁+（n-1）d₁=2n+1，b_n=b₁+（n-1）d₂=4n-2．
∴

1

anbn

=

1

(2n+1)•(4n-2)

=

1

4

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
∴原式=

lim

n→∞

1

4

（1-

1

2n+1

）=

1

4

．

点评：本题主要考查数列、数列极限等基本知识，同时考查了分析，推理的能力及运算能力，解题过程中充分运用了裂项求和法．