题目内容
已知：a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（1）
+
≤
；（2）ab+
≥
．
| a |
| b |
| 2 |
| 1 |
| ab |
| 17 |
| 4 |
证明：（1）要证
+
≤
成立，
只要证：a+b+2
≤2，
只要证：2
≤1
∵a＞0，b＞0，
∴
≤
=
，即2
≤1成立，
∴
+
≤
成立．…（4分）
（2）∵a＞0，b＞0，
∴
≤
=
，
∴0＜ab≤
，…（5分）
令t=ab（t∈(0，
]），
则设y=ab+
=t+
，t∈(0，
]
y′ =1-
=
，
则当t∈(0，
)时，y't＜0恒成立，
∴y=t+
在区间(0，
)是减函数，…（8分）
∴当t=
时，ymin=
，
∴y≥
即ab+
≥
．…（10分）
| a |
| b |
| 2 |
只要证：a+b+2
| ab |
只要证：2
| ab |
∵a＞0，b＞0，
∴
| ab |
| a+b |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ab |
∴
| a |
| b |
| 2 |
（2）∵a＞0，b＞0，
∴
| ab |
| a+b |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴0＜ab≤
| 1 |
| 4 |
令t=ab（t∈(0，
| 1 |
| 4 |
则设y=ab+
| 1 |
| ab |
| 1 |
| t |
| 1 |
| 4 |
y′ =1-
| 1 |
| t2 |
| t2-1 |
| t2 |
则当t∈(0，
| 1 |
| 4 |
∴y=t+
| 1 |
| t |
| 1 |
| 4 |
∴当t=
| 1 |
| 4 |
| 17 |
| 4 |
∴y≥
| 17 |
| 4 |
即ab+
| 1 |
| ab |
| 17 |
| 4 |
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