Question

已知点P在双曲线上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1．
（1）求双曲线方程；   
（2）过F的直线L₁交双曲线于A，B两点，若弦长|AB|不超过4，求L₁的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点P在双曲线上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1，知=1，即c=，设双曲线方程为，把点P代入，能求出双曲线方程．
（2）由双曲线方程是x²-y²=1，知F（），故直线L₁的方程是：，由，得（1-k²）x²+，由此利用弦长公式能求出L₁的斜率的取值范围．
解答：解：（1）∵点P在双曲线上，
且它到双曲线一个焦点F的距离是1，
∴=1，即c=，
设双曲线方程为，
把点P代入，得，
整理，得a⁴-5a²+4=0，解得a²=1，或a²=4（舍），
∴双曲线方程是x²-y²=1．
（2）∵双曲线方程是x²-y²=1，∴F（），
∴直线L₁的方程是：，
由，得（1-k²）x²+，
当k=±1时，直线与双曲线的渐近线平行，弦长为0，成立．
当k≠±1时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，
|AB|=≤4，
∴（1+k²）•≤16，
整理，得3k⁴-10k²+3≥0，
解得k²≥3，或，
∴，或，或，
综上所述，L₁的斜率的取值范围是{k|，或，或，或k=±1}．
点评：本题考查双曲线方程的求法和求直线求的斜率的取值范围．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用，易错点是容易忽视直线与双曲线渐近线平行的情况．