题目内容

已知函数，f（x）=x²，g（x）=2eln（x＞0）（e为自然对数的底数），它们的导数分别为f′（x）、g′（x）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4 $数学公式$ ；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值．

解：（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）= $\text{[math]}$ ，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+ $\text{[math]}$ ）≥2×2 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
当且仅当x= $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，等号成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4 $\text{[math]}$
（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）=2（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （x＞0），
令F′（x）=0，得x= $\text{[math]}$ （x=- $\text{[math]}$ 舍），
∴当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，F′（x）＜0，F（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减；
当x＞ $\text{[math]}$ 时，F′（x）＞0，F（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增．
∴当x= $\text{[math]}$ 时，F（x）有极小值，也是最小值，即F（x）min=F（ $\text{[math]}$ ）=e-2eln $\text{[math]}$ =0．
∴F（x）的单调递增区间为（ $\text{[math]}$ ，+∞），单调递减区间为（0， $\text{[math]}$ ），最小值为0．
分析：（1）分别求出f′（x）、g′（x），然后利用基本不等式可证得结论；
（2）先求F′（x），然后利用导数符号确定函数的单调性，再根据单调性可得函数的最值．
点评：本题主要考查了基本不等式，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．