Question

若S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求等比数列S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，求{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＞

m

20

对所有n∈N^*都成立的最大正整数m．

Answer 1

分析：（1）利用S₁，S₂，S₄成等比数列，建立等式，从而d=2a₁，即可求等比数列S₁，S₂，S₄的公比；
（2）利用S₂=4，确定首项与公差，即可求{a_n}的通项公式；
（3）利用裂项法求和，求出T_n的最小值，从而使得T_n＞

m

20

对所有n∈N^*都成立，等价于1＞

m

20

，即可求得最大正整数m．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，∴S₁=a₁，S₂=a₂+d，S₄=a₄+6d，
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，∴S1•S4=

S

2 2

∴a1(4a1+6d)=(2a1+d)2，∴2a1d=d2
∵公差为d不等于0，∴d=2a₁，
∴q=

S2

S1

=

4a1

a1

=4，
（2）∵S₂=4，∴2a₁+d=4，
∵d=2a₁，∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（3）∵bn=

3

(2n-1)(2n+1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

3

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

3

2

(1-

1

2n+1

)
∴（T_n）_min=1
使得T_n＞

m

20

对所有n∈N^*都成立，等价于1＞

m

20

，∴m＜20
∴m的最大值为19．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，属于中档题．