Question

若S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，S₁，S₂，S₄成等比数列，且S₂=4，设bn=

1

anan+1

，则新数列{b_n}的前n项和为

n

2n+1

．

Answer 1

分析：设等差数列{a_n}的公差为d，由已知可解得首项和d可得其通项，进而可得数列{b_n}的通项公式，由其特点可用裂项相消法可得结果．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0）
由等差数列的求和公式可得：S₂=2a₁+d=4，①
S₄=4a1+

4×3

2

d=4a1+6d=8+4d，
又S₁，S₂，S₄成等比数列，故16=a₁（8+4d）   ②
综合①②解得a₁=1，d=2，可得a_n=2n-1
所以bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
故数列{b_n}的前n项和为

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

故答案为：

n

2n+1

点评：本题为等差等比数列的综合应用，求对数列的通项并变形为裂项相消的形式是解决问题的关键，属中档题．