Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

1

2

，且经过点M(1，

3

2

)，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存直线l，满足

PA

•

PB

=

PM

2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a²=b²+c²可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k（x-2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出

PA

、

PB

、

PM

，再代入关系式

PA

•

PB

=

PM

2可确定k的值，从而得解．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由题意得

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2.

解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）+1，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k（2k-1）]²-4•（3+4k²）•（16k²-16k-8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．
解得k＞-

1

2

．
又x1+x2=

8k(2k-1)

3+4k2

，x1x2=

16k2-16k-8

3+4k2

，
且

PA

•

PB

=

PM

2，即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=

5

4

，
所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)=|PM|2=

5

4

．即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=

5

4

．
所以[

16k2-16k-8

3+4k2

-2

8k(2k-1)

3+4k2

+4](1+k2)=

4+4k2

3+4k2

=

5

4

，解得k=±

1

2

．
所以k=

1

2

．于是存在直线l满足条件，其的方程为y=

1

2

x．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习．